Quando dividimos um número inteiro por um outro inteiro
positivo, há um quociente e um resto, como o algoritmo de divisão mostra.
Demonstração do
Algoritmo de divisão
Exemplo 8:
Use
a propriedade da boa ordenação para demonstrar o algoritmo de divisão.
Lembre-se de que o algoritmo de divisão afirma que se a dor um número inteiro e d for
um número inteiro positivo, então existem números inteiros q e r com 0 ≤ r ≤ d e a = dq + r.
Solução:
Considere
S como o conjunto de números inteiros
não negativos na forma a – dq, em que
q é um número inteiro. Este conjunto
não é vazio, pois –dqpode ser tão
grande quanto desejar (considerando q como
um número inteiro negativo com valor absoluto alto). Pela propriedade da boa
ordenação, S tem um menor elemento r = a – dq0.
O número inteiro r não é negativo. É também o caso de que
r < d. Se ele não for, então terá
um elemento não negativo menor em S,
ou seja, a – d(q0 + 1). Para isso,
suponha que r ≥ d. Como a = dq0 + r, temos que a – d(q0 + 1) = (a – dq0) – d = r – d ≥ 0.
Os
exemplos 9 e 10 a seguir ilustram o algoritmo de divisão.
Quais são o quociente e o resto quando
101 é dividido por 11?
Solução:
Temos:
101 = 11 . 9 + 2.
Assim, o quociente quando 101 é
dividido por 11 é 9 = 101 div 11, e o resto é 2 = 101 mod 11.
Exemplo 10:
Quais são o quociente e o resto
quando -11 é dividido por 3?
Solução:
Temos:
-11 = 3(-4) + 1.
Assim, quando -11 é
dividido por 3, o quociente é -4 = -11 div 3, e o resto é 1 = -11 mod 3.
Note que o resto não
pode ser negativo. Consequentemente, o resto não é -2, mesmo se
-11
= 3(-3) – 2
porquer = -2 não satisfaz 0 ≤ r ≤ 3.
Note
que o número inteiro a é divisível
pelo número inteiro dse e somente se
o resto for zero quando a é dividido
por d.
Algoritmo de Divisão